Sistemas Dinâmicos Não Lineares


Linhas de Pesquisa:

  • Comportamento assintótico
  • Equações de evolução, bifurcação, simetria e sincronização
  • Equações diferenciais parciais lineares e não lineares
  • Existência, unicidade continuidade e continuação de soluções: caso crítico
  • Linearização suave
  • Problemas parabólicos semilineares
  • Problemas quase-lineares
  • Sistemas de equações elípticas com não linearidades de salto
  • Teoria do índice de Conley

Laboratório de Sistemas Dinâmicos Não Lineares
Departamento de Matemática

 


Apresentação

Sistemas dinâmicos são modelos matemáticos para muitos problemas na física, biologia, economia, engenharia e assim por diante. Estes sistemas dinâmicos são normalmente associados às equações diferenciais que podem ser equações diferenciais ordinárias, equações diferenciais parciais, equações diferenciais funcionais, equações diferenciais parciaisfuncionais e sistemas discretos. Modelos matemáticos são obtidos usando leis empíricas, medições, observações, etc. É frequente o caso em que algumas das influências que o sistema sofre sejam negligenciadas durante a modelagem (por facilidade de análise). Além disso, todos os parâmetros do modelo aproximado são determinados com algum erro. Assim, os modelos práticos são apenas aproximações de um modelo ideal e os erros são inevitáveis. Com isto em mente é de fundamental importância que os modelos desfrutem de uma certa estabilidade com relação a todas as perturbações possíveis. Uma abordagem possível para esta questão é estudar a estabilidade da dinâmica assintótica (atratores) sob perturbações e este é o tema principal de pesquisa do grupo de Sistemas dinâmicos não lineares do ICMC/USP. Em particular, um problema em que o grupo tem trabalhado, para equações diferenciais semilineares, é a tentativa para transferir informação da parte linear da equação para o comportamento assimptótico da equação semilinear. Para ser mais específico, tentamos mostrar que, se a parte linear (ilimitada) da equação comporta-se “continuamente” (por exemplo, o resolvente se comporta de forma contínua) então, a dinâmica não-linear se comporta de forma contínua. Os projetos relacionados a isso são chamados semicontinuity superior e inferior semicontinuity de conjuntos invariantes e linearização suave. O estudo da boa colocação local e global para equações diferenciais parciais semilineares no caso de crescimento crítico é também um tópico de pesquisa importante do grupo e consiste na determinação, para a classe mais ampla possível de não-linearidades e espaços de fase, da existência de uma solução única para cada dado iniciai no espaço de fase que comporta-se continuamente com respeito aos dados iniciais. Esta é talvez a questão mais fundamental em equações diferencias. Outro tópico de pesquisa importante para o grupo é o estudo da existência e estabilidade de soluções especiais (órbitas periódicas, ondas viajantes, órbitas
homoclínicas, órbitas heteroclínicas e órbitas mais geralmente limitadas). Nas aplicações de Equações Diferenciais estas soluções desempenham um papel fundamental.

  

 

Integrantes

 

 


Conquistas recentes

Estabilidade dos sistemas gradientes por perturbações. O estudo da estabilidade da caracterização de atratores globais para semigrupos sob perturbações nos leva a procurar um resultado que assegura a estabilidade dos sistemas gradientes sob perturbação. Isso nos levou ao conceito de sistemas de tipo gradientes que possuem as propriedades dinâmicas dos semigrupos gradientes e que são estáveis sob perturbação. Além disso, para sistemas dinâmicos não autónomos introduzimos o conceito de um processo de evolução gradiente-like e provamos que uma perturbação não-autônoma de um semigrupo de tipo gradiente é um processo de evolução de tipo gradiente. Recentemente, também provamos que os conceitos de semigrupos de tipo gradiente e gradiente são equivalentes. Soluções positivas para o p-Laplaciano envolvendo não-linearidades críticas e supercríticas com zeros. Provamos a existência de pelo menos duas soluções positivas para Δp u = λ h(x; u) em um domínio limitado suave com λ grande e não-linearidade com crescimento p-superlinear (mas subcrítico) no infinito, p-linear em zero com h (x; a (x)) = 0 para uma função positiva apropriada a. Nós também obtivemos o mesmo resultado, sem restrição no crescimento de h, mas renunciando à hipótese de que h depende de x ε Ω e exigindo que o domínio seja convexo, a fim de aplicar resultados adequados de monotonicidade provenientes da técnica de planos móveis. 

 

 

Principais projetos

  • Projeto Temático FAPESP
  • Projeto de Cooperação Internacional - CAPES/DGU
  • Projeto de Cooperação Internacional - FAPESP/CNRS

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