Área de concentração: 55135 - Matemática

Criação: 02/06/2026

Nº de créditos: 12

Carga horária:

Docentes responsáveis:

Objetivos:

Introduzir técnicas modernas de análise assintótica, suas justificativas teóricas rigorosas e como aplicá- las em exemplos concretos em equações diferenciais, teoria da aproximação e física matemática.

Justificativa:

Este curso foca na teoria moderna de sistemas integráveis e sua conexão com estruturas algébricas e métodos analíticos. Estudantes explorarão como álgebras de dimensão infinita levam a hierarquias integráveis e como o Problema de Riemann-Hilbert (RHP) serve como uma ferramenta universal para extrair comportamentos assintóticos precisos. Aplicações em física matemática também serão discutidas.

Conteúdo:

- Fundamentos algébricos e hierarquias: Operadores pseudodiferenciais e a hierarquia KP; reduções (KdV, NLS) e pares de Lax; deformações isomonodrômicas e a origem das equações de Painlevé.

- O Problema de Riemann-Hilbert (RHP) e teoria IIKS: Integrais de Cauchy, fórmulas de Plemelj e condições de salto; o formalismo IIKS: operadores integráveis e determinantes de Fredholm; o RHP de Fokas-Its-Kitaev para polinômios ortogonais.

- Fenômenos de Stokes e assintóticas lineares: Singularidades irregulares em EDOs (a abordagem de Wasow); linhas de Stokes, matrizes de Stokes e soluções setoriais; a equação de Airy como um estudo de caso fundamental.

- Método de máxima descida não linear e aplicações: O método de Deift-Zhou: funções-g, lentes e parametrizações locais; assintóticas de Painlevé II e fórmulas de conexão; probabilidade integrável: a distribuição de Tracy-Widom e universalidade na Teoria de Matrizes Aleatórias.

Forma de avaliação:

A avaliação será realizada por meio de apresentações de seminários no final do curso (peso 100%), em temas relacionados à disciplina, em comum acordo com docente.

Para aprovação, o(a) estudante deverá obter nota final mínima igual a 5. Aos discentes que obtiverem nota final entre 8 e 10 será atribuído o conceito A; entre 6 e 8, o conceito B; entre 5 e 6, o conceito C; e, para notas inferiores a 5, o conceito R.

Observação:

Nenhuma.

Bibliografia:

Fundamentais:
COSTIN, O. Asymptotics and Borel summability. Boca Raton: CRC Press, 2008.
DEIFT, P. Orthogonal polynomials and Random matrices: a Riemann-Hilbert approach. New York: Courant Institute of Mathematical Sciences, 1999.
DICKEY, L. A. Soliton equations and Hamiltonian systems. 2nd ed. Singapore: World Scientific, 2003.
FOKAS, A. S.; ITS, A. R.; KAPAEV, A. A.; NOVOKSHENOV, V. Y. Painlevé transcendents: the Riemann-Hilbert approach. Providence: American Mathematical Society, 2006.
MIWA, T.; JIMBO, M.; DATE, E. Solitons: differential equations, symmetries and infinite dimensional algebras. Cambridge: Cambridge University Press, 2000.
WASOW, W. R. Asymptotic expansions for ordinary differential equations. New York: Dover Publications, 2002.