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Área de concentração: 55134 - Ciências de Computação e Matemática Computacional

Criação: 13/12/2022

Nº de créditos: 12

Carga horária:

Teórica Por semana	Prática Por semana	Estudos Por semana	Duração	Total
3	0	9	15 Semanas	180 Horas

Docentes responsáveis:

Antonio Castelo Filho
Fabrício Simeoni de Sousa
Gustavo Carlos Buscaglia
José Alberto Cuminato
Roberto Federico Ausas

Objetivos:

O curso tem por objetivo iniciar o estudante de matemática, física, engenharia ou áreas afins na solução numérica de problemas modelados por equações diferenciais ordinárias e parciais (EDOs e EDPs). Durante o curso o aluno terá uma visão geral inicial e posterior detalhamento e análise dos métodos numéricos para equações diferenciais.

Justificativa:

Equações diferenciais aparecem na modelagem de vários problemas físicos e de engenharia, e qualquer aplicação real necessita do ferramental numérico para o estudo e resolução de tais equações. Este curso fornece o básico deste ferramental.

Conteúdo:

1. Aproximação de derivadas pelo método de diferenças finitas, operadores de diferenças, erros de truncamento. 2. Revisão de problemas de valor de contorno. Conceitos de estabilidade, consistência e convergência. Estabilidade em norma-2 e norma-infinito. Condições de contorno de Neumann. 3. Equações elípticas. Discretização por diferenças finitas. Numeração das equações. Precisão e estabilidade. 4. Revisão de problemas de valor inicial. Métodos de um passo, método de Taylor, Runge-Kutta. Métodos multipasso lineares. Zero-estabilidade, consistência e convergência. Estabilidade absoluta e regiões de estabilidade. Stiffness, A-estabilidade, L-estabilidade. 5. Equações parabólicas. Discretização por diferenças finitas, método das linhas. Estabilidade de Lax-Ritchmyer, análise de von Neumann, teorema de equivalência de Lax, convergência. 6. Equações hiperbólicas. Análise de esquemas de diferenças finitas (Euler, Leapfrog, Lax-Friedrichs, Lax-Wendroff, Upwind). Análise de von Neumann, interpolação e características, condição CFL. Erros de dissipação e dispersão. Leis de conservação. Solução fraca, solução entrópica, descontinuidades, choques. Esquemas de volumes finitos para leis de conservação escalares. Lema de Godunov. Esquemas de segunda ordem, monotonicidade, limitadores de fluxo, esquemas TVD.

Forma de avaliação:

Provas, seminários e trabalhos práticos. Atribuição de conceitos: A para nota superior ou igual a 8.5; B para nota superior ou igual a 7.0; C para nota superior ou igual a 6.0; R para nota inferior a 6.0.

Observação:

FORMA DE OFERECIMENTO
Apenas presencial

Bibliografia:

Fundamentais:
1) LEVEQUE, R.J.
- Finite Difference Methods for Ordinary and Partial Differential Equations: Steady-State and Time-Dependent Problems, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia, 2007.
2) CUMINATO, J.A.; MENEGUETTE JR, M. - Discretização de Equações Diferenciais Parciais: Técnica de Diferenças Finitas, Coleção Matemática Aplicada, SBM, 2013.

Complementares:
3) DAUTRAY, R.; LIONS, J.-L. - Mathematical Analysis and Numerical Methods for Science and Technology. Volume 6: Evolution Problems II, Springer, 1984.
4) WESSELING, P. - Principles of Computational Fluid Dynamics, Springer, 1991.
5) SMITH, G.D. - Numerical Solution of Partial Differential Equations: Finite Difference Methods, Clarendon Press - Oxford, 3rd ed., 1980.
6) THOMAS, J.W. - Numerical Partial Differential Equations: Conservation Laws and Elliptic Equations, Springer, New York, 1999.
7) HUSSAINI, M.Y.; van LEER, V.; van ROSENDALE, J. (editors) - Upwind and High-Resolution Schemes, Springer-Verlag GmbH & Co. KG, Heidelberg, 1997.
8) RICHTMYER, R. D.; MORTON, K. W. - Difference Methods for Initial Value Problems - Interscience, 2nd ed., New York, 1967.
9) MITCHEL, A.R.; GRIFFITHS, D.F. -The Finite Difference Method in Partial Differential Equations, JOHN WILEY & SONS, 1980.