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Área de concentração: 55135 - Matemática

Criação: 22/11/2022

Nº de créditos: 8

Carga horária:

Teórica Por semana	Prática Por semana	Estudos Por semana	Duração	Total
10	0	10	6 Semanas	120 Horas

Docentes responsáveis:

Daniel Smania Brandão
Ruy Tojeiro de Figueiredo Junior
Thaís Jordão

Objetivos:

A teoria das funções de uma variável complexa, que inclui o estudo de funções analíticas, tem um papel central na matemática, dada a sua riqueza de aspectos analítico-geométricos. Os temas abordados refletem esta abrangência e visam proporcionar uma formação básica a nível de mestrado.

Justificativa:

Importante tópico para uma sólida formação matemática em nível de mestrado.

Conteúdo:

I. O corpo dos números complexos: definição; operações e propriedades; topologia do plano complexo.
II. Funções analíticas: séries de potências; derivação complexa e propriedades; ramos de funções inversas; equações de Cauchy-Riemann; transformações de Möbius.
III. Integração complexa: formas diferenciais; integração de 1-formas em caminhos; integração de 1-formas exatas e fechadas; integração de formas fechadas em caminhos contínuos; integração de formas fechadas ao longo de caminhos homotópicos; representação em séries de funções analíticas, zeros de uma função analítica; índice de uma curva fechada; o teorema de Cauchy e a fórmula integral de Cauchy; domínios simplesmente conexos e a versão homotópica do teorema de Cauchy; o Teorema da Aplicação Aberta; o Teorema de Goursat.
IV. Singularidades isoladas de funções analíticas: zeros de funções analíticas; classificação; resíduos; o teorema do resíduo e aplicações; o princípio do argumento e o Teorema de Rouché; o teorema do módulo máximo e o princípio do máximo.
V. O Teorema da Aplicação de Riemann: caracterização dos compactos do espaço das funções analíticas e do espaço das funções meromorfas; Teorema da Aplicação de Riemann.
VI. Imagem de funções analíticas: o Teorema de Picard (little).

Forma de avaliação:

Critério de avaliação: prova escrita.

Observação:

Forma de oferecimento
Apenas presencial

Bibliografia:

Fundamentais
1. CONWAY, J. B. Functions of one complex variable I. 2nd ed. New York: Springer-Verlag, 1978.
2. LINS NETO, A., Funções de uma variável complexa, Projeto Euclides, IMPA, Rio de Janeiro, 1993.


Complementares
3. STEIN, E., and SHAKARCHI, R., Complex Analysis. 2rd ed. Princeton University Press, 2003.
4. AHLFORS, L. V., Complex analysis: an introduction to the theory of analytic functions of one complex variable. 3rd ed. New York: McGraw-Hill, 1979.
5. GROVE, EA., and LADAS, GE. Introduction to complex variables. Boston; Houghton Mifflin, 1974.
6. MARSDEN, J. E., and HOFFMAN, MJ., Basic complex analysis. 2nd ed. New York: W. H. Freeman and Company, 1987.
7. PALKA, BP., An introduction to complex function theory. New York: Springer-Verlag, 1991. 8. LEVINSON, N., and REDHEFFER R.M.. Complex Variables. San Francisco: Holden-Day, 1970.