Área de concentração: 55135 - Matemática

Criação: 05/07/2021

Nº de créditos: 10

Carga horária:

Teórica
Por semana
Prática
Por semana
Estudos
Por semana
Duração Total
4 1 5 15 Semanas 150 Horas

Docentes responsáveis:

Farid Tari
Marcelo José Saia
Maria Aparecida Soares Ruas
Nivaldo de Góes Grulha Junior


Objetivos:

O objetivo do curso é transmitir aos alunos os elementos básicos da teoria de singularidades de aplicações
diferenciáveis.


Justificativa:

A teoria de singularidades estuda o comportamento local das aplicações diferenciáveis. Ela interage com
diversas áreas da matemática, tais como geometria diferencial e algébrica, topologia e sistemas dinâmicos, e seus métodos são úteis no estudo de certos problemas das ciências aplicadas, entre as quais a Física e a Engenharia.


Conteúdo:

I. Noções de variedades diferenciáveis e aplicações. II. Transversalidade: germes; ponto singular; teorema da função inversa para germes; rank de um germe; conjunto singular; conjunto de bifurcação; teorema de Sard; lema básico de transversalidade; jatos; a topologia C∞ de Whitney; teorema da transversalidade de Thom; estabilidade; exemplos de estabilidade usando transversalidade. III. Ações de grupos de Lie; lema de Mather. IV. As álgebras En e On: definições; lema de Hadamard; lema de Borel; lema de Nakayama; espaço tangente a um germe f em En segundo o grupo R; o módulo En,p; homomorfismo induzido; número de Milnor. V. Germes finitamente determinados: definição; critério para determinação finita (grupo R). VI. Classificação de germes de funções: lema de Morse; splitting lemma; a singularidade Ak; a transversal completa; classificação de singularidades de corank 2 usando a transversal completa; singularidades simples e o teorema de Arnold; diagramas de bifurcação. VII. Desdobramentos: definição; deformação versal. VIII. Hipersuperfícies
com singularidades isoladas. Propriedades do número de Milnor. IX.Germes de aplicações diferenciáveis: o grupo K; espaço tangente; desdobramentos; estabilidade infinitesimal; germes estáveis em dimensões baixas


Forma de avaliação:

Avaliações escritas, seminários e listas de exercícios.


Observação:

Nenhuma.


Bibliografia:

Fundamentais:
1. Gibson, C.G.: Singular points of smooth mappings, Research Notes in Mathematics, vol. 25. Pitman (Advanced
Publishing Program), Boston, Mass.-London (1979)
2. Mond, D., Nuño-Ballesteros, J.: Singularities of Mappings, Grundlehren der mathematischenWissenschaften, vol. 357.
Springer International Publishing (2020). DOI 10.1007/978-3-030-34440-5
3. Tari, F. Singularidades de Aplicações Diferenciáveis. São Carlos: ICMC USP, 1999. Notas Didáticas do ICMC, 34.

Complementares:
1. Martinet, J.: Singularités des fonctions et applications différentiables. Pontifíia UniversidadeCatólica do Rio de Janeiro,
Rio de Janeiro (1977). Deuxième édition corrigée, Monografias de Matemática da PUC/RJ, No. 1. [Mathematical
Monographs of the PUC/RJ, No. 1]
2. Izumiya, S., Romero Fuster, M.d.C., Ruas, M.A.S., Tari, F.: Differential geometry from a singularity theory viewpoint.
World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., Hackensack, NJ (2016)
3. Ebeling, Wolfgang Functions of several complex variables and their singularities. Translated from the 2001 German
original by Philip G. Spain. Graduate Studies in Mathematics, 83. American Mathematical Society, Providence, RI, 2007.
xviii+312 pp. ISBN: 0-8218-3319-7

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