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Área de concentração: 55135 - Matemática

Criação: 27/06/2023

Nº de créditos: 12

Carga horária:

Teórica Por semana	Prática Por semana	Estudos Por semana	Duração	Total
4	0	8	15 Semanas	180 Horas

Docentes responsáveis:

Ali Tahzibi
Daniel Smania Brandão

Objetivos:

Introduzir os princípios básicos da teoria ergódica e das suas aplicações aos sistemas dinâmicos.

Justificativa:

Os métodos e resultados da teoria ergódica tem se mostrado de monumental importância no desenvolvimento e pesquisa atual na teoria dos sistemas dinâmicos.

Conteúdo:

I.Transformações que preservam medida: o teorema de recorrência de Poincaré; medidas invariantes; transformações unicamente ergódicas; shifts, o ponto de vista probabilístico; shifts, o ponto de vista topológico; transformações equivalentes.
II.Ergodicidade: o teorema de Birkhoff; ergodicidade; exemplos de ergodicidade; decomposição ergódica de medidas invariantes; transformações mixing e de Lebesque; mixing e ergodicidade dos shifts de Markov.
III.Transformações Expansoras e Difeomorfismos de Anosov.
IV.Entropia: teorema de Shannon-McMillan-Breiman; entropia; o teorema de Kolmogorov-Sinai; entropia das transformações expansoras; a medida de Parry; entropia topológica; a propriedade variacional da entropia; expoentes de Lyapounov, o teoremas de Oseledec e Pesin; medidas hiperbólicas; o Teorema de Katok. V.Tópicos adicionais: Atratores hiperbólicos e medida de Sinai-Ruelle-Bowen. Desigualdade de Ruelle. Medidas de Gibbs.

Forma de avaliação:

Avaliações escritas e/ou seminários.

Observação:

Nenhuma.

Bibliografia:

1. OLIVEIRA, K and VIANA, M. - Foundations of Ergodic theory, Cambridge University Press, Cambridge, 2016.
2) KATOK, A., HASSELBLATT, B. - Introduction to the modern theory of dynamical systems, Cambridge University Press, Cambridge, 1995.
3) PETERSEN, K. - Ergodic theory, Cambridge University Press, 1983.
4) BOWEN, R. Equilibrium states and the Ergodic theory of Anosov diffeomorphisms. Springer-Verlag, Berlin, 1975.