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Área de concentração: 55135 - Matemática

Criação: 20/05/2016

Nº de créditos: 12

Carga horária:

Teórica Por semana	Prática Por semana	Estudos Por semana	Duração	Total
4	0	8	15 Semanas	180 Horas

Docentes responsáveis:

Carlos Henrique Grossi Ferreira

Objetivos:

Na matemática moderna, nota-se o uso mais e mais frequente da geometria hiperbólica. A disciplina tem por objetivo introduzir os fundamentos da área.

Justificativa:

empre que num espaço linear se encontra uma forma hermitiana não-degenerada e não-definida, de fato estamos lidando com a geometria hiperbólica. Isto explica o fenômeno de crescimento do interesse atual à área. Historicamente, a geometria hiperbólica nasceu durante a análise do quinto postulato de Euclides e providenciou os primeiros exemplos não-triviais de variedades riemannianas. Esta última linha de desenvolvimento da área, que começou em trabalhos de Riemann, Poincaré e Klein, culminou (em trabalhos de Teichmüller, L. V. Ahlfors e L. Bers) na classificação de superfícies de Riemann e assim estimulou o estudo moderno de espaços de moduli. Outro lugar tradicional da geometria hiperbólica foi a topologia tridimensional, onde recentemente em trabalhos de R. Hamilton e G. Perelman foi realizado o programa de Thurston e provada a hipótese de geometrização de Thurston (e, em particular, resolvida a conjectura de Poincaré) que, grosso modo, afirma que todas as variedades compactas de dimensão três podem ser construídas de certas peças, boa parte das quais pode ser munida da geometria hiperbólica. Hoje em dia é difícil encontrar uma área da matemática onde a geometria hiperbólica não se aplica. Talvez seja mais fácil mencionar as áreas onde ela não se encontra. Por outro lado, foi recentemente encontrada uma exposição da geometria hiperbólica (e das geometrias clássicas) tão simples que possibilita apresentá-la para alunos de mestrado, mesmo para aqueles que não possuem uma formação sólida. (De fato, foi cristalizado um folclore, boa parte do qual se encontra em trabalhos de E. B. Vinberg, V. I. Arnold, W. P. Thurston, W. M. Goldman entre outros.) Assim, a disciplina sugerida deve constituir uma base de conhecimentos indispensáveis e uma parte da cultura matemática sem as quais é difícil imaginar uma formação adequada de um jovem pesquisador.

Conteúdo:

Álgebra hermitiana. Métricas hermitiana e pseudo-hermitiana. Exemplos: geometrias projetivas e grassmannianas. Geometria hiperbólica elementar: distâncias, ângulos, área. Objetos da origem linear: geodésicas, hiperciclos, horociclos, círculos métricos, bissetores, subvariedades totalmente geodésicas, subvariedades lagrangianas. Discretude, uniformização, teorema poliedral de Poincaré. Espaço de Teichmüller de superfícies de Riemann.

Forma de avaliação:

Listas de exercícios distribuídas entre os alunos e provas escritas

Observação:

Nenhuma.

Bibliografia:

Bibliografia principal:
1. ANAN'IN, S., and GROSSI, CH. Basic coordinate-free non-Euclidean geometry [online]. Ithaca, New York : Cornell University Library, 2 Jul 2011. Available from <http://arxiv.org/abs/1107.0346>.
2. KAPOVICH, M. Hyperbolic manifolds and discrete groups. Boston: Birkhäuser, 2001.
3. THURSTON, WP., and LEVY, S. Three-dimensional geometry and topology. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1997.

Bibliografia complementar:
4. ANAN'IN, S., and GROSSI, CH. Coordinate-free classic geometries. Moscow Math. J., 2011, vol. 11, no. 4, p. 633-655.
5. ANAN'IN, A., and GROSSI, CH. Differential geometry of grassmannians and the Plucker map, Central European J. of Math. 10 (2012), no. 3, 873-884.
6. ANAN'IN, S., GROSSI, CH., and SILVA, JCC. Poincaré's polyhedron theorem for cocompact groups in dimension 4, Moscow Math. J., 2014, vol. 14, no. 4, p. 1-23.