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Área de concentração: 55135 - Matemática

Criação: 27/06/2023

Nº de créditos: 12

Carga horária:

Teórica Por semana	Prática Por semana	Estudos Por semana	Duração	Total
4	0	8	15 Semanas	180 Horas

Docentes responsáveis:

Ederson Moreira dos Santos

Objetivos:

O propósito da disciplina é apresentar um estudo sobre a simetria das soluções de algumas classes de problemas envolvendo equações elípticas de segunda e quarta ordens, assim como sistemas de equações elípticas de segunda ordem.

Justificativa:

A modelagem matemática é uma das formas mais eficientes para o entendimento de fenômenos da natureza, os quais frequentemente exibem simetrias fascinantes. Muitos destes modelos são formulados com a ajuda de equações diferencias parciais, em particular aquelas denominadas elípticas. Portanto, é muito natural investigar a simetria das soluções de problemas envonvendo equações diferencias parciais elípticas.

Conteúdo:

1. Princípio do máximo
2. Simetria radial
3. Simetria de Schwarz
4. Simetria de Schwarz folheada
5. Simetria via hiperplanos, semi-espaços e reflexões
6. O método dos planos móveis
7. Simetria via polarização
8. Índice de Morse versus simetria

Forma de avaliação:

Seminários

Observação:

Os textos principais trazem dois artigos clássicos sobre a simetria das soluções de equações elípticas (referências 1 e 2) e três outras referências que organizam o desenvolvimento e aplicações desta teoria.

Bibliografia:

Fundamentais
1. Berestycki, Henry.; Nirenberg, Louis: On the method of moving planes and the sliding method. Bol. Soc. Brasil. Mat. (N.S.) 22, no. 1, 1--37 (1991).
2. Gidas, Basilis; Ni, Wei Ming; Nirenberg, Louis: Symmetry and related properties via the maximum principle. Commun. Math. Phys. 68(3), 209–243 (1979).
3. Pacella, Filomena; Ramaswamy, Mythily: Symmetry of solutions of elliptic equations via maximum principles. Handbook of differential equations: stationary partial differential equations. Vol. VI, 269--312, Handb. Differ. Equ., Elsevier/North-Holland, Amsterdam (2008). 4. Weth, Tobias. Symmetry of solutions to variational problems for nonlinear elliptic equations via reflection methods. Jahresber. Dtsch. Math.-Ver. 112 , no. 3, 119--158 (2010).
5. Han, Qing; Lin, Fanghua. Elliptic partial differential equations. Second edition. Courant Lecture Notes in Mathematics, 1. Courant Institute of Mathematical Sciences, New York; American Mathematical Society, Providence, RI, 2011.

Complementares
6. Baernstein, Albert, II: A unified approach to symmetrization. Partial differential equations of elliptic type (Cortona, 1992), 47–91, Sympos. Math., XXXV, Cambridge Univ. Press, Cambridge (1994).
7. Berchio, E., Gazzola, F., Weth, T.: Radial symmetry of positive solutions to nonlinear polyharmonic Dirichlet problems. J. Reine Angew. Math. 620, 165--183 (2008).
8. Brock, Friedemann; Solynin, Alexander Yu.: An approach to symmetrization via polarization. Trans. Amer. Math. Soc. 352, no. 4, 1759--1796 (2000).
9. Ferrero, Alberto, Gazzola, Filippo, Weth, Tobias: Positivity, symmetry and uniqueness for minimizers of second-order Sobolev inequalities. Ann. Math. Pura Appl. (4) 186(4), 565--578 (2007).
10. Fraenkel, Ludwig Edward: An Introduction to Maximum Principles and Symmetry in Elliptic problems. Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 128. Cambridge University Press, Cambridge (2000).