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Área de concentração: 55135 - Matemática

Criação: 26/10/2021

Nº de créditos: 12

Carga horária:

Teórica Por semana	Prática Por semana	Estudos Por semana	Duração	Total
2	2	8	15 Semanas	180 Horas

Docentes responsáveis:

Thaís Jordão

Objetivos:

Um dos objetivos principais desta disciplina é apresentar a discentes, de pós graduação em
matemática, tópicos de Análise de Fourier Clássica, no âmbito de Séries de Fourier e Teoria da
Aproximação, que possuem técnicas fundamentais da teoria. Técnicas estas predominantemente
utilizadas por pós-graduando/as do Grupo de Análise Funcional Aplicada em projetos em andamento e
em artigos recentes, relacionados à Teoria da Aproximação. Estudar, aprimorar e discutir criticamente
temas e resultados relevantes da teoria fazendo analogias com o que existe de recente na literatura, em
termos de resultados, também está entre os objetivos da disciplina.

Justificativa:

A pesquisa em Análise de Fourier Clássica, em particular na sua intersecção com a Teoria da
Aproximação, está em plena expansão e possui importantes aplicações em áreas como a Física e a
Computação. É fundamental que o/a discente interessado/a nesta especialidade se familiarize-se com
os resultados, técnicas básicas e questões importantes dela. Esta disciplina é uma oportunidade para
discentes da pós-graduação em Matemática de aprofundarem seus conhecimentos na especialidade
oferecida por ela.

Conteúdo:

1. Conceitos fundamentais: séries trigonométricas, Lema de Fejér, Transformação de Abel, Método de
Abel e estimativas de coeficientes de Fourier em termos de módulo de continuidade.
2. Teoria da Aproximação de funções por funções trigonométricas: Desigualdade de Bernstein, melhor
aproximação, módulos de continuidade e de suavidade e módulo de continuidade integral.
3. Coeficientes de Fourier: em termos do módulo de continuidade integral, em termos de funções de
variação limitada, somas de Fejér e de Poisson para funções em classes diferentes. Teoremas de Lusin-
Denjoy, de Cantor-Lebesgue, métodos de Riemann de somabilidade e aplicação a séries de Fourier.
4. Coeficientes de Fourier de funções Lipschitz, relações entre ordem de somabilidade de funções e
coeficientes de Fourier. Teoremas de Kolmogorov-Seliverstov e de Plessner, Teste de Marcinkiewicz,
Convergência por medida Logarítimica do conjunto.
5. Somabilidade de Séries de Fourier gerais (princípio de Localização, o método de Abel-Poisson,
Teorema de Zygmund e convergência absoluta - Critério de Riesz e Critério de Stechkin).

Forma de avaliação:

Observação:

Nenhuma.

Bibliografia:

Fundamentais:
F1. Bary, N. K., A treatise on trigonometric series, Vols. I, II. A Pergamon Press Book The Macmillan Co.,
New York (1964). Vol. I: xxiii+553 pp. Vol. II: xix+508 pp.
F2. Zygmund, A.,Trigonometric series. Third edition. Cambridge University Press, Cambridge (2002). Vol.
I, II., Vol. I: xiv+383 pp.; Vol. II: viii+364 pp.

Complementares:
C1. Grafakos, L., Classical Fourier analysis. Third edition. Graduate Texts in Mathematics, 249. Springer,
New York, (2014). xviii+638 pp.
C2. Duoandikoetxea, J., Fourier Analysis. Graduate Studies in Mathematics, 29. American Mathematical
Society, Providence, RI, (2001). xviii+222 pp.
C3. Kantorovich, L. V.; Krylov, V. I., Approximate methods of higher analysis. Interscience Publishers, Inc.,
New York; P. Noordhoff Ltd., Groningen (1958). xv+681 pp.
C4. Boyd, John P., Correcting three errors in Kantorovich & Krylov's Approximate methods of higher
analysis. Amer. Math. Monthly 123 (2016), no. 3, 241–257. 65-02.