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Área de concentração: 55135 - Matemática

Criação: 11/02/2021

Nº de créditos: 12

Carga horária:

Teórica Por semana	Prática Por semana	Estudos Por semana	Duração	Total
4	0	8	15 Semanas	180 Horas

Docentes responsáveis:

Ana Paula Peron
Thaís Jordão

Objetivos:

Desenvolver a teoria básica da análise na esfera e estudar tópicos relevantes da teoria que são utilizados em Teoria da Aproximação.

Justificativa:

A disciplina é uma oportunidade para os alunos de doutorado da área de análise, familiarizarem-se com um tópico que tem aplicações recentes e importantes em várias áreas da Matemática e Física.

Conteúdo:

I. Conceitos básicos: Espaços primitivos, núcleos de reprodução, espaços invariantes por rotações, a fórmula de Funk-Hecke, harmônicos esféricos, a fórmula da adição para harmônicos esféricos, o operador de Laplace-Beltrami, convolução esférica.
II. Polinômios de Jacobi e de Gegenbauer: polinômios de Legendre, integrais de Laplace, fórmulas geradoras, funções de Legendre associadas, espaços associados, ortogonalidade, função de Bessel, os zeros dos polinômios de Gegenbauer.
III. Séries de Fourier-Laplace: convergência e constante de Lebesgue, a média de Cèsaro, o operador de translação esférica, translação esférica e convolução esférica, a transformada de Radon, outros operadores importantes.
IV. Aproximação na esfera: interpolação usando bases de funções radiais, funções positivas definidas e condicionalmente positivas definidas em esferas, aproximação com pesos, designs esféricos, hiper-interpolação em esferas.

Forma de avaliação:

Seminários e listas de exercícios.

Observação:

Nenhuma.

Bibliografia:

Fundamentais:
1. AXLER, S., BOURDON, P., and RAMEY, W. Harmonic function theory. New Tork: Springer Verlag,1992.
2. GROEMER,H. Geometric applications of Fourier series and spherical harmonics. Cambridge, Cambridge University Press, 1996.
3. MULLER, C. Analysis of spherical symmetries in Euclidean spaces. New York: Springer-Verlag, 1998.

Complementares:
4. FREEDEN, W., GERVENS, T., and SCHREINER, M. Constructive approximation on the sphere: With
applications to geomathematics. New York: University Press, 1998.
5. MORIMOTO, M. Analytic functionals on the sphere. Providence, R.I.: American Mathematical Society, 1998.
6. MÜLLER, C. Spherical harmonics. Lecture Notes in Mathematics, 17. New York: Springer-Verlag. 1966.
7. REIMER, M. Multivariate polynomial approximation. Bael: Birkhäuser Verlag, 2003.
8. WANG K., and LUOQING, LI. Harmonic Analysis and approximation on the unit sphere. Beijing: Science Press, 2000.