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Área de concentração: 55135 - Matemática

Criação: 05/07/2021

Nº de créditos: 10

Carga horária:

Teórica Por semana	Prática Por semana	Estudos Por semana	Duração	Total
4	0	6	15 Semanas	150 Horas

Docentes responsáveis:

Alexandre Nolasco de Carvalho
Éder Rítis Aragão Costa

Objetivos:

Apresentar as noções básicas dos sistemas dinâmicos não lineares em espaços de dimensão infinita
aos alunos de final de mestrado e início de doutorado como ferramenta básica para aplicações em
diversas especialidades do conhecimento matemático.

Justificativa:

O conceito de sistemas dinâmicos surge para unificar diversos aspectos do estudo de modelos matemáticos de problemas físicos evolutivos (contínuos ou discretos). Desta forma, constituem uma ferramenta matemática básica para a pesquisa em diversas especialidades da matemática.

Conteúdo:

I. Atratores para semigrupos e sistemas de evolução. I.1. Atratores para semigrupos: fatos básicos:
órbitas, conjuntos ômega-limite e alpha-limite, conjuntos invariantes, estabilidade, compacidade
assintótica, medidas de não-compacidade, dissipatividade e a definição de atratores. Condições
suficientes para existência de atratores. Pontos de equilíbrio: estabilidade sob perturbação, variedades
instáveis e estáveis. Semigrupos gradientes e a caracterização de seus atratores. Semigrupos de tipo-
gradiente e a estabilidade da decomposição de Morse sob perturbação. Semicontinuidade superior e
inferior de atratores. Atratores exponenciais. Taxa de atração uniforme e sua relação com a
continuidade de atratores e a taxa de convergência de atratores. Capacidade e dimensão de Hausdorff
de atratores. Dimensão, dimensão de Hausdorff e capacidade limite. Projeções de compactos com
capacidade finita. Dimensão de conjuntos compactos negativamente invariantes. I.2. Atratores de
problemas de evolução não autônomos: noções básicas, condições para existência e propriedades
elementares. II. Dicotomias II.1. Dicotomia Discreta: definição e propriedades básicas. Admissibilidade.
Robusteza. II.2. Dicotomia Exponencial: definição e propriedades básicas. Robusteza. Admissibilidade.
III. A propriedade do ponto de sela. III.1. Variedades instáveis locais como gráfico (métodos de Perron e
“graph transform”). III.2. Variedades estáveis locais como gráfico. III.3. Soluções globais hiperbólicas:
perturbação de soluções globais hiperbólicas e suas variedades instáveis e estáveis locais. IV.
Hyperbolicidade e continuidade de atratores.

Forma de avaliação:

Provas e Seminários.

Observação:

Nenhuma.

Bibliografia:

Fundamentais:
1. CARVALHO, AN., LANGA, JA., and ROBINSON, JC. Attractors for infinite-dimensional non-autonomous dynamical systems.
New York: Springer, 2013.
2. BORTOLAN, MC., CARVALHO, AN., LANGA, JA. Attractors under autonomous and non-autonomous perturbations. AMS, Mathematical
Surveys and Monographs, 2020.

Complementares:
3. HALE, J. Asymptotic behavior of dissipative systems. Providence, RI, American Mathematical Society, 1988.
4. BABIN, AV., and VISHIK, MI. Attractors of evolution equations. Amsterdam: North-Holland Publishing Co., 1992.
5. CHEPYZHOV, VV., Vladimir V., and VISHIK, MI. Attractors for equations of mathematical physics. Providence, RI: American
Mathematical Society, 2002.
6. ROBINSON, JC. Infinite-dimensional dynamical systems: A introduction to dissipative parabolic PDEs and the theory of global
attractors. Cambridge: Cambridge University Press, 2001.