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Área de concentração: 55135 - Matemática

Criação: 05/07/2021

Nº de créditos: 12

Carga horária:

Teórica Por semana	Prática Por semana	Estudos Por semana	Duração	Total
4	0	8	15 Semanas	180 Horas

Docentes responsáveis:

Ederson Moreira dos Santos
Eugenio Tommaso Massa
Sérgio Henrique Monari Soares

Objetivos:

O propósito da disciplina é apresentar um estudo introdutório dos métodos variacionais na teoria de pontos
críticos e suas aplicações aos problemas de equações diferenciais parciais elípticas.

Justificativa:

O foco da disciplina é a existência de pontos críticos de funcionais com valores reais. Nas aplicações as equações diferenciais, tais pontos críticos correspondem a soluções das equações. Em verdade, este fato faz da teoria de pontos críticos uma importante ferramenta no estudo das equações diferenciais parciais elípticas.

Conteúdo:

I. Premilinares: noções de espaços de Sobolev, funcionais em espaços de Banach, diferenciabilidade, a condição
de Palais-Smale. II. Minimização: algumas aplicações, minimização, minimização com restrição e multiplicadores
de Lagrange. Aplicação 1 – problemas sublineares, um problema de autovalor. III. O teorema do passo da
montanha: lema da deformação, teorema do passo da montanha. Aplicação 2 – equações elípticas superlineares.
IV. O teorema do passo da montanha generalizado - um teorema de enlace: resultado abstrado, aplicação 3 –
problema de Dirichlet semilinear. V. Variedade de Nehari: definição da variedade de Nehari e propriedades dos
valores críticos, aplicação 4 – existência de solução de energia mínima. VI. Categoria relativa: categoria, categoria
relativa, teorema minimax. Aplicação 5: multiplicidade de soluções para uma equação semilinear.

Forma de avaliação:

Seminários (80%) e listas de exercícios (20%)

Observação:

Nenhuma.

Bibliografia:

Fundamentais:
1. WILLEM, M. Minimax theorems. Boston: Birkhäuser, 1996.

Complementares:
1. AMBROSETTI, A., and MALCHIODI, A. Nonlinear Analysis and semilinear elliptic problems. Cambridge:
Cambridge University Press, 2007.
2. BADIALE, M., and SERRA, E. Semilinear Elliptic Equations for beginners: Existence results via the variational approach. London: Springer-Verlag, 2011.
3. BREZIS, H. Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations. New York: Springer, 2011.
4. COSTA, DG. Tópicos em análise não linear e aplicações as equações diferenciais. VIII ELAM. Rio de Janeiro: IMPA, 1986.
5. CHIPOT, M., and QUITNER, P. Handbook of differential equations: stationary partial differential equations. Amsterdam: Elsevier/North Holland, 2004.
6. DE FIGUEIREDO, DG. Lectures on the Ekeland variational principle with applications and detours. Berlin-New York: Tata Institue of Fundamental Research, Springer-Verlag, 1989.
7. KAVIAN, O. Introduction à la théorie des points critiques: et applications aux problèmes elliptiques. Berlin- Heidelberg: Springer-Verlag, 1993.
8. RABINOWITZ, PH. Minimax methods in critical point theory with applications to differential equations. Providence, R.I.: American Mathematical Society, 1986.
9. STRUWE, M. Variational Methods: applications to nonlinear partial differential equations and Hamiltonian systems, 4th ed. Berlin: Springer, 2010.