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Área de concentração: 55135 - Matemática

Criação: 16/05/2023

Nº de créditos: 6

Carga horária:

Teórica Por semana	Prática Por semana	Estudos Por semana	Duração	Total
4	0	6	9 Semanas	90 Horas

Docentes responsáveis:

Guilherme Lima Ferreira da Silva

Objetivos:

Desenvolver teoria básica de processos pontuais determinantais, em particular na teoria de matrizes
aleatórias. Explorar como ferramentas de análise funcional são utilizadas para cálculo de várias
quantidades probabilísticas de interesse, e em particular como conectam processos determinantais a
equações diferenciais integráveis. Utilizar técnicas de análise assintótica em equações diferenciais
integráveis para o estudo de matrizes aleatórias de grande dimensão.

Justificativa:

Nos últimos 25 anos, a teoria de processos pontuais tem sofrido drástica transformação, motivada por
aplicações tanto em física matemática, como também em teoria da informação, ciência de dados,
teoria dos números, entre outras. Este curso servirá como introdução a teoria de processos pontuais,
em particular matrizes aleatórias, para estudantes com formação sólida em matemática mas sem
experiência prévia em probabilidade ou física matemática. Devido à conexões com diversas áreas
modernas da matemática, o curso servirá tanto como uma perspectiva abrangente de como várias
disciplinas da pós-graduação se interconectam para responder questões fundamentais em física
matemática, quanto também para introduzir estudantes de maneira acelerada a uma área de pesquisa
ainda incipiente no Brasil.

Conteúdo:

1. Introdução, processos pontuais, funções de correlação.
2. Processos pontuais determinantais, estatísticas, probabilidades gap. Exemplos: ensembles
biortogonais, matrizes aleatórias
3. Análise assintótica do Gaussian Unitary Ensemble
4. Processos pontuais determinantais induzidos por núcleos IIKS integráveis, problemas de RiemannHilbert associados, conexões com equações diferenciais integráveis.
5. Estatísticas multiplicativas do processo pontual de Airy via análise assintótica de Problemas de
Riemann-Hilbert para equação de Schrödinger.

Forma de avaliação:

Apresentação de seminário ao final do curso, e avaliação de lista de exercício

Observação:

Apenas presencial

Bibliografia:

Fundamentais:
Baik, Jinho; Deift, Percy; Suidan, Toufic
Combinatorics and random matrix theory.
Graduate Studies in Mathematics, 172. American Mathematical Society, Providence, RI, 2016. xi+461 pp.
ISBN: 978-0-8218-4841-8

Deift, Percy
Integrable operators.
Differential operators and spectral theory, 69–84,
Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 189, Adv. Math. Sci., 41, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1999.

Cafasso, Mattia; Claeys, Tom; Ruzza, Giulio
Airy kernel determinant solutions to the KdV equation and integro-differential Painlevé equations.
Comm. Math. Phys. 386 (2021), no. 2, 1107–1153.

Complementares:
Daley, D. J.; Vere-Jones, D.
An introduction to the theory of point processes. Vol. I.
Elementary theory and methods. Second edition. Probability and its Applications (New York). SpringerVerlag, New York, 2003. xxii+469 pp.

Daley, D. J.; Vere-Jones, D.
An introduction to the theory of point processes. Vol. II.
General theory and structure. Second edition. Probability and its Applications (New York). Springer, New
York, 2008. xviii+573 pp.

Claeys, T.; Kuijlaars, A. B. J.; Vanlessen, M.
Multi-critical unitary random matrix ensembles and the general Painlevé II equation. Ann. of Math. (2)
168 (2008), no. 2, 601–641.

Bothner, Thomas
On the origins of Riemann-Hilbert problems in mathematics. Nonlinearity 34 (2021), no. 4, R1–R73.