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Área de concentração: 55135 - Matemática

Criação: 26/10/2023

Nº de créditos: 8

Carga horária:

Teórica Por semana	Prática Por semana	Estudos Por semana	Duração	Total
4	0	4	15 Semanas	120 Horas

Docentes responsáveis:

Igor Mencattini

Objetivos:

Introduzir alguns tópicos avançado de teoria analítica dos números.

Justificativa:

A disciplina é uma oportunidade para os alunos de doutorado e mestrado que trabalham nas áreas da
análise e álgebra familiarizarem-se com tópicos que tem aplicações importantes em várias partes da
teoria analítica dos números.

Conteúdo:

1) Frações contínuas: Frações contínuas finitas e algoritmo Euclidiano, teoria algébrica das frações
contínuas, fração contínua de um número real.
2) Introdução à aproximação Diofantina: teorema de Dirichlet, séries de Farey, teorema de Hurwitz e
teorema de Liouville. Números de Liouville. Números e espectro de Lagrange.
3) Arvores e Markoff: números e espectro de Markoff, arvores de Stern-Brocot e de Markoff. Teorema de
Markoff e conjetura de unicidade de Markoff.

Forma de avaliação:

A avaliação dos alunos que necessitam de nota final será efetuada por meio de apresentação de
seminários ou longo do semestre.

Observação:

Todas as atividades da disciplina serão exercidas na língua inglesa.
Forma de oferecimento: apenas presencial

Bibliografia:

Fundamentais:
AIGNER, M. Markov's theorem and 100 years of the uniqueness conjecture: a mathematical journey from
irrational numbers to perfect matchings. Cham: Springer, 2013. 257p.
BORWEIN, J.; VAN DER POORTEN, A.; SHALLIT, J., ZUDULIN, W. Neverending fractions: an introduction to
continued fractions. Cambridge: Cambridge University Press, 2014. 224 p. (Australian Mathematical
Society, v. 23).

Complementares:
BOMBIERI, E. Continued fractions and the Markov tree. Expositiones Mathemacae, 25, n. 3, 187 – 213,
2007.
REUTENAUER, C. From Christoffel words to Markoff numbers: Oxford: Oxford University Press, 2019.
176p.
REUTENAUER, C. On the Stern-Brocot expansion of real numbers. Journal de Théorie des Nombres de
Bordeaux, v. 31, n. 3, p. 697-722, 2019