Resumo: O  índice de Conley, na sua forma original, foi definido para fluxos definidos em espaços localmente compactos. Enquadram-se em tal situação as equações diferenciais ordinárias definidas em espaços de dimensão finita e as equações diferenciais parciais parabólicas e equações diferenciais funcionais retardadas as quais podem ser reduzidas a uma equação diferencial ordinária ou pelo menos, a um fluxo definido em um espaço localmente compacto. Nos anos 80, a teoria do índice de Conley foi estendida para uma classe de semifluxos definidos em espaços não compactos. Em particular, as equações diferenciais parciais parabólicas e equações diferenciais funcionais retardadas puderam ser tratadadas por essa extensão do índice.

A teoria do ́ındice de Conley pode ser vista como uma generalização da teoria clássica do índice de Morse em variedades compactas. A teoria de Morse apresenta um índice para todo equilíbrio
não degenerado de um sistema gradiente, enquanto que a teoria de Conley apresenta um índice a todo conjunto invariante isolado compacto de uma equação diferencial ordináaria (não necessariamente
gradiente). 

Para Conley, os objetos de principal interesse em sistemas dinâmicos são as vizinhanças isolantes e seus associados conjuntos invariantes. Uma das propriedades que torna a sua utilização bastante útil é o Princípio da Continuação. Um modo simples de enunciar tal princípio é o seguinte: Sejam X um espaço métrico e (πε)ε∈[0,1] uma família de semifluxos em X tal que πε converge para π0 em X quando ε → 0+. Isto significa que quaisquer que sejam xε → x0 e tε → t0 quando ε → 0+, segue que xεπεtε → x0π0t0. Seja N ⊂ X uma vizinhança isolante fortemente π0-admissível de um conjunto invariante isolado K0 de π0. Então, sob algumas hipóteses adicionais de compacidade, para todo ε > 0 suficientemente pequeno, o conjunto N é uma vizinhança isolante fortemente πε-admissível de um conjunto invariante Kε de πε e os índices de Conley de Kε e K0 são os mesmos.

Este resultado é comumente usado quando queremos deduzir informações a respeito de conjuntos invariantes mais complicados, Kε, ε > 0, a partir de um conjunto invariante mais simples, K0. Na situação descrita acima o fluxo π0 é um “limite regular” dos fluxos πε, ε ∈ ]0, 1].

Em problemas de perturbação singular, frequentemente temos uma família (πε)ε∈]0,1] de semifluxos definidos em um espaço X, uma família (ρε)ε∈]0,1] de métricas em X e, finalmente, também tem-se um “semifluxo limite singular” π0 o qual é definido somente em um subespaço X0 de X. Além disso, πε converge para π0 somente em um sentido restrito com relação à família de métricas definidas acima. Tal situação ocorre, por exemplo, em diversas classes de equações diferenciais parciais singularmente perturbadas. Motivados por tais equações, um princípio de continuação singular do índice de Conley foi obtido.

Nesta palestra apresentamos os definições e propriedades básicas da teoria do índice de Conley e descrevemos os exemplos que motivaram a construção um princípio de continuação singular e os resultados obtidos.